Tablas de Verdad y Lógica Proposicional

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una traficación donde nos muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para verificar cada combinación de verdad que se pueda asignar en la tabla de verdad mediante un proceso, donde se utilizan conectivos lógicos (Conjunción, Disyunción, Implicación, Doble Implicación y negación) las que nos ayudaran a Resolver los problemas dados.

DISYUNCIÓN

 La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:

 p       q     p v q

 V       V          V

 V       F          V

 F       V          V

 F       F          F

CONJUNCIÓN

La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q y su tabla de verdad es:

      p       q       p ^ q

V       V        V

V       F        F

V       F        V

F       F        F

NEGACIÓN

La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “~” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad:

P   ~P

V      F

F      V

CONDICIONAL

La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su tabla de verdad está dada por:

   p      q  p → q

V       V       V

V       F        F

F       V       V

F       F       V

 

BICONDICIONAL

La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por:

    p   q  p ↔ q

    V     V          V

    V      F         F

    F      V         F

   F       F         V

Ejemplo

1) Partimos de que cada variable proposicional puede ser verdadera o falsa. V o F

2) Cuando tenemos más de una variable, las combinaciones de valores de verdad serán varias. Para saber cuántas combinaciones de valores de verdad podemos obtener, elevamos 2 al número de variables distintas que aparezcan. Colocamos dichos valores repartíéndolos por la mitad en la primera variable, por la mitad de esta en la siguiente, etc..

Ej  [ ( p   -->   q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V          V

          V           F

           F          V

           F           F 

3) Resolvemos las tablas de verdad de las fórmulas no afectadas por el conector dominante. Se llama conector dominante al que separa las premisas de la conclusión.

Para ello tenemos que saber que:

a) El negador cambia el valor de verdad de la variable o fórmula a la que afecta. Si aplicamos esto a la fórmula que estamos resolviendo, tendríamos:

        [ ( p   -->   q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V          V              F               F

          V           F             V               F

           F          V              F              V

           F           F             V              V

b) El conjuntor solo es verdadero cuando son verdaderas las dos variables o fórmulas que enlaza.

c) El disyuntor solo es falso cuando son falsas las dos variables o fórmulas que enlaza.

d) El condicional sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente  es falso.

e) El bicondicional es verdadero cuando antecedente y consecuente tienen el mismo valor de verdad y falso cuando antecedente y consecuente tienen distinto valor de verdad.

Ej. Si aplicamos estas reglas al ejemplo que tenemos entre manos, tendremos:

       [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V    V      V            F                F

          V     F      F           V                F

           F    V      V           F               V

           F    V      F           V               V

Una vez resuelto el paréntesis, hago la tabla de verdad de la fórmula que está entre corchetes. Y así:

      [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V    V      V     F      F              F

          V     F      F     F      V              F

           F    V      V     F      F             V

           F    V      F     V      V             V

4) Resolvemos la tabla de verdad de la fórmula afectada por el conector dominante. Y así:

       [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]        -->    ¬ p 

       

          V    V      V     F      F        V        F

          V     F      F     F      V        V        F

           F    V      V     F      F        V       V

           F    V      F     V      V        V       V

Puede ocurrir que el resultado final sea siempre verdadero, como en este ejemplo, y eso se llama una TAUTOLOGÍA;que el resultado final sea a veces verdadero y a veces falso, y eso se llama INDETERMINACIÓN; y, por último, que todos los resultados sean falsos y eso se llama una contradicción.

Ejercicio

Vocalización

SI ESTA LLOVIENDO ENTONCES ME PUEDO MOJAR  SI Y SOLO SI LLUEVE FUERTE.

Simbolización

(p       q)      r

P: V

Q: V

R: F

El método de Polya para resolver problemas

George Pólya presentó en su libro Cómo plantear y resolver problemas (en inglés, How to solve it) un método de 4 pasos para resolver problemas matemáticos. Dicho método fue adaptado para resolver problemas de programación, por Simon Thompson en How to program it.

En las siguientes secciones mostramos los 4 pasos de ambos métodos, junto con sus correspondientes preguntas.

Método de Polya para resolver problemas matemáticos

Para resolver un problema se necesita:

Paso 1: Entender el problema

¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?

¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Paso 2: Configurar un plan

·         ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

·         ¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.

·         He aquí un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto ya. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?

·         ¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.

·         Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considera sólo una parte de la condición; descarta la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?

·         ¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición? ¿Has considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Paso 3: Ejecutar el plan

·         Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos

·         ¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?

Paso 4: Examinar la solución obtenida

·         ¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?

·         ¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema?

Problemas aplicando los pasos de polya.

1.       Álgebra: Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Problema: Marcos va a comprarle unos videojuegos a su hermano. Hay videojuegos para distintas edades por lo que el vendedor necesita saber la edad de su hermano. Pero Marcos le contesta de la siguiente manera:

2.       Mi edad es el triplo de la de mi hermano y hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la tendrá mi hermano dentro de 16 años. Puedes ayudar al vendedor a encontrar cuál es la edad actual del hermano de Marcos?

3.       Paso 1: Comprender el problema ¿Qué quiere decir el triplo de la edad? Resp: Quiere decir la edad multiplicada por tres. ¿Distingues cuales son los datos? Ø La edad de Marcos es el triplo de la de su hermano. Ø Hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la que tendrá su hermano dentro de 16 años.

4.       ¿Sabes a que quieres llegar? Resp: A encontrar la edad actual del hermano de Marcos. Paso 2: Configurar un plan ¿Se puede usar alguna estrategia para resolver el problema? Usar una variable : Sea x= la edad actual del hermano 3x=la edad de Marcos

5.       Por otro lado: v Hace 4 años la edad de Marcos era 3x-4 y la de su hermano era x-4. v La edad que tendrá el hermano dentro de 16 años es x+16. v La suma de ambas edades [(3x-4) y (x-4)] era igual a (x-16).

6.       Paso 3: Ejecutar el plan Implementa la estrategia que escogiste hasta solucionar completamente el problema. (3x+4)+(x-4)= x+16 4x-8=x+16 4x-8-x=x+16-x 3x-8=16 3x-8+8=16+8 3x=24

7.       Paso 4: Mirar hacia atrás ¿Es tu solución correcta?¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? La cantidad obtenida parece razonable ya que: La suma de ambas edades hace 4 años era: 20+4=24 y 24 años es exactamente la edad que tendrá el hermano de Marcos dentro de 16 años.

8.       Geometría: Funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos. Problema :En un cumpleaños un joven debe amarrar unos globos en lo alto de una pared de 4,33 m de altura .¿Cual debe ser la longitud de la escalera que el joven coloca de tal manera que forme un ángulo de 60 con el piso?

9.       Paso 1: Entender el problema ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Puedes replantear el problema? ¿Distingues cuales son los datos? Resp: v La altura de la pared es de 4,33 m v El ángulo que forma la escalera con el piso es de 60

10.   ¿Sabes a que quieres llegar? Resp: A encontrar la longitud de la escalera. ¿Hay suficiente información? Resp: Si la hay ¿Hay información extraña para ti? Resp: No ¿Este problema es similar a otro que hayas hecho?

11.   Paso 2: Configurar un plan ¿Usar una variable? Resp: Sea c= longitud de la escalera. b=altura de la pared ¿Hacer una figura?

Ejemplo:

Ejercicio:

TEORIA DE CONJUNTOS

Los Conjuntos son una colección ya sea de objetos, de números, de personas, de colores, etc. Y las propiedades que veremos nos servirán para fundamentar cualquier teoría Matemática, tales como Funciones, Geometría, Estadística y todas las que se nos puedan presentar. Nuestra visión de la Teoría de Conjuntos es absolutamente básica. Es una herramienta elemental del lenguaje matemático y su presentación corresponde a la capacidad de aprendizaje de niños desde 6º básico en adelante, lo mismo que para personas que no estén familiarizadas con el tema. (P., 2004)

¿PARA QUE SIRVEN LOS CONJUNTOS EN LA VIDA REAL? Para trabajar teniendo la idea clara de por qué razón o justificación se procede de una cierta manera. Encontrarán aquí un ejemplo aplicado a la Aritmética. Primero hay que conocer cuáles son los conjuntos para poderlos manejar. Los veremos gráficamente y conoceremos sus nombres según su color.

Conjunto de los números Naturales N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…….}

Conjunto de los números Cardinales = No = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…….}

 Conjunto de los números Enteros Z = {…. -3, -2, -1, 0, +1, +2, Conjunto de los números Racionales Q{….1/2,…1/3…0/4,…+2/5…}

Conjunto de los números Irracionales I = {pi = 3,1416…. Raíz de x ..

 Conjunto de los números Reales R = {Contiene a todos los anteriores}

Cada uno de estos conjuntos tiene operaciones (Por ej: suma , resta multiplicación y división) y cada operación tiene propiedades, que se justifican con los conjuntos. 5 Veamos un caso : Veremos el Conjunto de los Cardinales. Si tomamos dos elementos del conjunto y los sumamos, el resultado siempre va a ser un número que está dentro del conjunto (pertenece a él). Esto justifica también la propiedad de (Clausura)– Si tomamos 3+8 = 8+3 quiere decir que la suma es ( conmutativa) – Si sumamos 6+(3+1) = (6+3)+1 es ( asociativa) – Si a cualquier Nº del conjunto le sumamos 0 , 9 + 0 = 0 + 9 = 9 ( Tiene un elemento neutro).Como vemos, todas las propiedades de estas operaciones se justifican con CONJUNTOS.

TEORIA DE CONJUNTOS

1º.- Dibuja en éste recuadro: Un racimo de uvas, una manzana, una naranja y un limón.

 2º.- Encierra con una “cuerda” (para agruparlos), a 3 de esas frutas.

3º.- Nombra esas 3 frutas que encerraste. {UVAS, NARANJA, LIMON}

4º.- Acabas de formar un CONJUNTO formado por 3 frutas. F

5º.- Le vamos a poner nombre a ese grupo de frutas. A los conjuntos se les “nombra” por una letra MAYUSCULA por ejemplo F, y sus elementos (o sea las frutas) se escriben dentro de paréntesis de llaves y separados entre sí por comas.

Entonces: F = {uvas, naranja, limón} y lo leemos F es el conjunto formado por uvas, naranja y limón.